TextBox1'in TextChanged olayına aşağıdaki kodları ekleyin:

Dim aranacak As String = TextBox1.Text



    Try



      For Each row As DataGridViewRow In DataGridView1.Rows



        If (String.IsNullOrEmpty(row.Cells(1).Value)) Then Exit For



        If row.Cells(1).Value.ToString().Equals(aranacak) Then



          row.Selected = True

          Exit For



        End If



      Next



    Catch ex As Exception



      MessageBox.Show(ex.Message)



    End Try

Form'un Load olayına alttaki kodu ekleyin:

DataGridView1.SelectionMode = DataGridViewSelectionMode.FullRowSelect

Arama kutusuna yazdığınız değer Eğer 1. sütunda yani ad soyad sütununda varsa o satır seçili hale gelecek.

Sorunuza göre bu şekilde cevap verdim ancak eğer veritabanından gelen veriler varsa -ki sizin örnekte var- Sql ile arama yapmak en güzelidir.